Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:

(10)

Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три

случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что , то есть знаки совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:

Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:

, (12)

где

Положим , тогда уравнение (12) примет вид: . (13)

Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на , получим:

(14)

Так как и , то предположим, что . (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что , то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

Предположим, что . Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

При уравнение принимает вид: (18)

Пусть , тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как , то .

Пусть . Так как после поворота , то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)

Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или , (20)

Еще о педагогике:

Программное обеспечение компьютера
Для работы аппаратного обеспечения компьютера необходим набор инструкций - программ. Программа - последовательность команд для обработки информации, составленная человеком на языке, понятном компьютеру. Программы составляются специалистами - программистами, а выполняет команды процессор. На компьют ...

Анализ эмоциональных переживаний, связанных с взаимоотношениями учитель - ученик
Существенные характеристики невербальных компонентов отношений к значимым другим и к самому себе отражается в цветовых ассоциациях, а цветовая сенсорика тесно связана с эмоциональной жизнью личности. Исходя из этого мы можем понять внутреннее эмоциональное отношение учеников к учителю и, главное, о ...

Способы изготовления игрушек с подвижными частями. Материалы, оборудование, инструменты
Непременными компонентами деятельности являются разнообразные навыки и умения. Об их соотношении высказываются различные мнения. Одни исследователи считают, что навыки предшествуют умениям, другие полагают, что умения возникают раньше навыков. Причиной этих расхождений является многозначность слова ...