Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:
(10)
Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что
. (11)
Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три
случая:
1) (эллиптический случай);
2) (гиперболический случай);
3) (параболический случай).
Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что
, то есть знаки
совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:
Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:
, (12)
где
Положим , тогда уравнение (12) примет вид:
. (13)
Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на
, получим:
(14)
Так как и
, то предположим, что
. (15)
Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса
Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.
Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами
Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что
, то есть числа
имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:
Предположим, что . Отсюда:
(16)
Так как и
разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть
(17)
тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:
При уравнение принимает вид:
(18)
Пусть , тогда
и уравнение (18) примет вид:
откуда
Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.
Рассмотрим параболический случай. Так как , то
.
Пусть . Так как после поворота
, то уравнение (9) преобразуется до вида:
(19)
Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:
тогда уравнение (19) примет вид:
или
, (20)
Еще о педагогике:
Типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами
Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи. «Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» – такое часто можно видеть на уроке. И сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в некоторых учебниках, и в решебниках. Учителя не всегда сами понимают, зачем нужно проводить этот ...
Динамика анатомо-физиологического
развития детей раннего возраста
Ранний возраст — это период быстрого формирования всех свойственных человеку психофизиологических процессов. Своевременно начатое и правильно осуществляемое воспитание детей раннего возраста является важным условием их полноценного развития. Ранний детский возраст — от года до трех лет - называется ...
Формы и методы гражданского воспитания учащихся
С незапамятных времен в системе образования понятия обучить и воспитать неразрывны. Невозможно уча, не взращивать те или иные качества в личности, или поучая, не пытаться чему- то научить. Но ни одно из направлений воспитания не может быть реализовано без конкретного определения общих и свойственны ...