Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:

(10)

Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три

случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что , то есть знаки совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:

Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:

, (12)

где

Положим , тогда уравнение (12) примет вид: . (13)

Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на , получим:

(14)

Так как и , то предположим, что . (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что , то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

Предположим, что . Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

При уравнение принимает вид: (18)

Пусть , тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как , то .

Пусть . Так как после поворота , то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)

Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или , (20)

Еще о педагогике:

Культура письма при конспектировании лекций
В современных условиях, как известно, более широко практикуется конспектирование, ведущееся одновременно со слушанием лекции. Такое конспектирование, если оно правильно поставлено и не является самоцелью, имеет известное вспомогательное значение для студентов. Конспектирование является средством ра ...

Семья как основной воспитывающий социальный институт
Наибольшую защищенность от возможных негативных внешних воздействий ребенок ощущает в семье - элементарной частице человеческого общества, сложившейся и совершенствующейся в течение тысячелетий. Практика свидетельствует: ни один социальный институт, ни одна организация не способны в полной мере зам ...

Психолого-педагогические основы применения технических и мультимедийных средств обучения
Современные ТСО и мультимедийные средства имеют для воплощения принципа наглядности широкие возможности, которые необходимо реализовать на основе учета психологических особенностей восприятия информации в процессе обучения. Из психологии известно, что зрительные анализаторы обладают значительно бол ...