Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

Докажем, что при повороте на любой угол α имеет место равенство:

(10)

Так как мы подобрали угол α так, что , то из (10) следует, что

. (11)

Чтобы проанализировать уравнение кривой (9), рассмотрим три

случая:

1) (эллиптический случай);

2) (гиперболический случай);

3) (параболический случай).

Подробнее рассмотрим эллиптический случай. Из следует, что , то есть знаки совпадают. Пусть A′ > 0, C′ > 0. Выделим полные квадраты при неизвестных x′, y′, получим:

Дополним члены, содержащие x’ и y’,до полного квадрата:

, (12)

где

Положим , тогда уравнение (12) примет вид: . (13)

Пусть . Разделим обе части уравнения (13) на , получим:

(14)

Так как и , то предположим, что . (15)

Из (14) и (15) следует, что мы получили каноническое уравнение эллипса

Пусть F′ > 0, тогда в уравнении (13) слева стоит неотрицательное число, а справа - отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих данному уравнению, не существует.

Пусть F′ = 0. Тогда уравнению (13) удовлетворяет только одна точка , то есть точка с координатами

Рассмотрим гиперболический случай. Из следует, что , то есть числа имеют разные знаки. Выполняя аналогичные преобразования, как и для эллиптического случая, получим уравнение кривой:

Предположим, что . Отсюда:

(16)

Так как и разных знаков, следовательно, одна из скобок больше нуля, другая скобка меньше нуля. Пусть (17)

тогда мы получаем каноническое уравнение гиперболы:

При уравнение принимает вид: (18)

Пусть , тогда и уравнение (18) примет вид: откуда Таким образом, получили уравнения двух пересекающихся прямых.

Рассмотрим параболический случай. Так как , то .

Пусть . Так как после поворота , то уравнение (9) преобразуется до вида: (19)

Соберём члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

тогда уравнение (19) примет вид: или , (20)

Еще о педагогике:

Клинико – психолого – педагогическая характеристика детей с ЗПР
Особенностью задержки психического развития является неравномерность нарушений различных психических функций; при этом логическое мышление может быть более сохранным по сравнению с памятью, вниманием, умственной работоспособностью. У детей с задержкой психического развития отсутствует инертность пс ...

Занятия по рисованию, лепке и аппликации для детей второй младшей группы
Рисование карандашами «Трава для зайчат» Цель: воспитывать у детей сочувствие к игровым персонажам и вызвать желание помогать; учить рисовать траву короткими штрихами, побуждать, свободно располагать штрихи на всей поверхности листе; познакомить с зеленым цветом; подводить к пониманию того, что зел ...

Виды информации
Человек воспринимает сведения об объектах окружающего мира с помощью органов чувств: зрения, слуха, обоняния, вкуса, осязания. Практически около 90% информации человек получает при помощи органов зрения, примерно 9% — при помощи органов слуха и только 1% при помощи остальных органов чувств (обоняни ...