Теория линий второго порядка и использования ИКТ в обучении

Понятие линии второго порядка в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия описывает свойства линий на плоскости через их уравнения. В аналитической геометрии систематически исследуются так называемые алгебраические линии второго порядка (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями второй степени). Линии второго порядка определяются уравнениями вида . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой (канонический) вид, удобный для исследования.

Определение 1. Линией второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению:

где A,B,C,D,E,F - вещественные коэффициенты, причем .

Исследуем уравнение и узнаем, что представляет собой произвольная линия второго порядка.

Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду

Для исследований приведем общее уравнение линии второго порядка к одному из канонических видов.

Существует такая система координат, в которой уравнение (1) не содержит произведения xy, то есть B = 0.

Пусть координаты точки M в системе координат XOY. Повернем оси координат на угол в положительном направлении и обозначим (x', y') координаты точки M в новой системе координат X'OY'.(чертеж 1.)

Чертеж 1

Найдем связь между этими координатами. Очевидно, что:

(так как ); (2)

(так как ); (3)

Рассмотрим . Так как он прямоугольный, то , . (4)

Рассмотрим теперь . Он также прямоугольный, поэтому , . (5)

Таким образом, с учетом того, что , из равенств (2)-(5) получим: (6)

Следовательно, система (6) представляет собой выражение старых координат через новые при повороте XOY на угол α вокруг О (0,0).

Замечание. Для того чтобы получить выражение новых координат через старые, достаточно угол α в формулах (6) заменить на угол (−α), так как при повороте системы координат X′OY ′ на угол (−α) мы получим систему XOY.

Подставим формулы (6) в уравнение (1), получим:

Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.

При , получим:

,

При :

, (7)

При :

,

При :

,

При :

.

Таким образом, уравнение (1) с учётом замены (6) принимает вид:

(8)

Подберем угол таким образом, чтобы коэффициент . Из (7) следует, что поэтому

После данного преобразования уравнение (1) примет вид:

. (9)

Еще о педагогике:

Компьютер и его состав
Компьютер - это аппаратно-программный комплекс, предназначенный для автоматизации работы с информацией. Слова «аппаратно-программный комплекс» означают, что компьютер состоит из аппаратного и программного обеспечения. В состав аппаратного обеспечения входят технические устройства компьютера, а в со ...

Общая характеристика эмоциональной сферы младшего школьника
Нам приходится наблюдать поведение человека в различных жизненных обстоятельствах: при успехе, несчастье, опасности, ссоре и т. д. И мы знаем ог­ромное множество проявлений эмоциональной жизни человека, которые раз­личны по своему содержанию, по форме, по их значению и длительности протекания. Межд ...

Диагностика протекания адаптационного процесса детей шести лет к обучению в школе
Объектом исследования являлись ученики в количестве 20 человек МОУ СОШ №1 с. Канглы Минераловодского района посещавшие подготовительные к школе курсы и зачисленные этим же составом в 1А класс. Результаты обследования представляются в виде количественных оценок, которые получает ребенок за каждое за ...