Векторное пространство

а + ( в + с ) = (а + в) + с.

Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов.

Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть векторы АВ и СD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначение:

а х в = IaI * IbI * cos ( а, в).

Свойства скалярного произведения:

1. а х в = в х а.

Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0.

Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а.

Свойства операций над векторами.

Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.

1. Пусть даны а = (ах, аy, аz) и в = ( вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (ах + вx; аy + ву; аz + вz).

Пример 1.

а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3).

Еще о педагогике:

Воспитание дисциплины и культуры поведения
Дисциплина прежде всего обеспечивает успех деятельности человека. Если он пунктуален, аккуратен, строго выполняет все требования, которые предъявляются к его служебным обязанностям, это создает предпосылки для достижения высоких результатов в работе и повышении ее качества, что, безусловно, хорошо ...

Общая характеристика эмоциональной сферы младшего школьника
Нам приходится наблюдать поведение человека в различных жизненных обстоятельствах: при успехе, несчастье, опасности, ссоре и т. д. И мы знаем ог­ромное множество проявлений эмоциональной жизни человека, которые раз­личны по своему содержанию, по форме, по их значению и длительности протекания. Межд ...

Точное терминологическое и словесное описание стойки на голове с согнутыми ногами
Стойка на голове с согнутыми ногами выполняется из различных исходных положений и различными способами (толчком ног, силой, махом одной и толчком другой). При выполнении из упора присев толчком ног или силой поставить голову на верхнюю часть лба, прийти в стойку на голове и руках в группировке, уде ...