Векторное пространство

а + ( в + с ) = (а + в) + с.

Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов.

Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой «вектор», имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот «вектор» изображается «отрезком нулевой длины», т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Равенство векторов.

Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Из данного определения равенства векторов следует, что разные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

И обратно: если векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине, то они равны.

Действительно, пусть векторы АВ и СD – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис.6). Параллельный перенос, переводящий точку С в точку А, совмещает полупрямую СD с полупрямой АВ, так как они одинаково направлены. А так как отрезки АВ и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой В, то есть параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ. Значит, векторы АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух нулевых векторов называется число, равное произведению числовых значений длин этих векторов на косинус угла между векторами.

Обозначение:

а х в = IaI * IbI * cos ( а, в).

Свойства скалярного произведения:

1. а х в = в х а.

Для того, чтобы два нулевых вектора а и в были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, т.е. а х в = 0.

Выражение а х а будем обозначать а2 и называть скалярным квадратом вектора а.

Свойства операций над векторами.

Имеют место следующие теоремы об операциях над векторами, заданными в координатной форме.

1. Пусть даны а = (ах, аy, аz) и в = ( вx, ву, вz), тогда сумма этих векторов есть вектор с, координаты которого равны сумме одноименных координат слагаемых векторов, т.е. с = а + в = (ах + вx; аy + ву; аz + вz).

Пример 1.

а = ( 3; 4; 6) и в = ( -1; 4; -3), тогда с = ( 3 + ( -1); 4 + 4; 6 + (-3)) = ( 2; 8; 3).

Еще о педагогике:

Анатомия птиц, полёт птиц
Одним из основных отличий пернатых от других групп позвоночных, является способность летать. Существует относительно небольшое количество (около 60 видов) нелетающих либо почти нелетающих птиц, однако все они в процессе эволюции так или иначе утратили это качество, которое имели их предки. Умение п ...

Виды заданий по формированию словоизменения
Составление предложений по опорным словам, данным вразброс (предлагаемые слова стоят в начальной форме); вставка в предложения пропущенных слов; определение правильности предложений (Детям даются предложения с правильными и неправильными формами слов. Предлагается определить, какое из предложений п ...

Биологические предпосылки нарушений психического развития детей раннего возраста, воспитывающихся в условиях дома ребенка
Можно установить существенные различия между детьми, воспитываемыми в семьях и в закрытых детских учреждениях по биологическому и социальному анамнезам. В настоящее время, говоря об общей детской популяции, приходится констатировать, что до 80% новорожденных являются физиологически незрелыми, около ...