Векторное пространство

Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1). Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху,

Той же буквой, но не жирной , а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или IаI, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или IаI. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить , что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому. Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную «геометрическую арифметику» – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а1, а2 и в1, в2 называется вектор с с координатами а1 + в1, а2 + в2, т.е.

а (а1; а2) + в (в1;в2) = с (а1 + в1; а2 + в2).

Следствие:

а + в = в + а , (коммутативность)

а + ( в + с ) = (а + в) + с. (ассоциативность)

Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.

а и в – векторы (рис.5).

Еще о педагогике:

Педагогические требования к организации и проведению дидактических игр
В работе с дошкольниками воспитатель использует дидактическую игру на занятиях и в самостоятельной деятельности. Она уже не является основным средством обучения, но помогает обобщать знания, полученные детьми на занятиях и в повседневной жизни, учит применять их в новой обстановке, углубляет познав ...

Понятие "воспитание" в широком и узком значении
Воспитание в широком значении представляет собой целенаправленный, организованный процесс, обеспечивающий всестороннее, гармоничное развитие личности, подготовку ее к трудовой и общественной деятельности. Понятие воспитание в узком значении тождественно понятию “воспитательная работа”, в процессе к ...

Гражданское воспитание сегодня
На протяжении уже многих лет трансформаций и реформ в образовательной сфере проблема воспитания в нашей стране остается нерешенной, особенно на высоком официально-административном уровне. Во многом это объясняется отсутствием национальной идеи, идеологии. И как следствие, стратегии развития России ...