Введение понятия интеграла с помощью физических моделей

Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

ΔР=FΔt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется «количеством движения». Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Величина называется также «импульсом силы» за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

Вытекание воды из сосуда.

Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся.

Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

Еще о педагогике:

Историко-педагогические предпосылки гуманизма в воспитании
Гуманизм развивался в разные эпохи, начиная с античности и продолжается до сегодняшнего дня, но особенное развитие он получил в эпоху Возрождения. Т.к. название эпохи - Возрождения - означает преемственность ее идей с античной культурой, ее возрождение на новых основаниях. Ее называют также эпохой ...

Авторский взгляд на методику формирования мировоззрения
Нельзя жить, не осмысливая духовно жизнь. Без философии (своей, личной, жизненной) может быть нигилизм, цинизм . но не жизнь. Но ведь философия есть у каждого. Надо растить ее в себе, потому что она поддерживает жизнь в нас . Л.С. Выготский Педагогика должна быть философией или вообще не быть. М. Л ...

Педагогические требования к построению пространства кабинета информатики
Помимо организационных требований кабинет информатики предъявляет и педагогические требования к построению пространства кабинета. Согласно, учебные помещения должны включать: рабочую зону, рабочую зону учителя, дополнительное пространство для размещения учебно-наглядных пособий, технических средств ...