Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа

Проведём анализ некоторых школьных учебников алгебры и начал анализа с точки зрения использования различных подходов введении понятия интеграла, рассматриваемых в них приложений интеграла в физике.

В учебниках, как правило, используются следующие подходы к введению понятия определенного интеграла:

Интеграл как предел интегральных сумм.

Этот подход предполагает введение операции интегрирования как независимой операции; при этом интеграл определяется как предел последовательности, составленной из интегральных сумм. Начинается изучение в этом случае с рассмотрения конкретных задач, например, задачи о площади под кривой; задачи о работе силы и др. Затем, обобщив полученные результаты, переходят к определению интеграла как предела интегральных сумм.

Хотя данное определение громоздко, но идея метода наглядна (геометрическая интерпретация – площадь криволинейной трапеции). Вместе с определением интеграла получают и способ его вычисления. Но на практике для вычисления интеграла используют формулу Ньютона – Лейбница, которую при данном подходе необходимо доказать.

1) В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» при введении интеграла рассматривается задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Автор приводит в учебнике два способа вычисления площади криволинейной трапеции: с помощью теоремы о площади криволинейной трапеции и с помощью интегральных сумм. Второй способ сводится к определению интеграла. С помощью интегральных сумм выводятся также формулы для вычисления объемов тел, работы переменной силы, а также нахождения массы стержня и центра масс.

Среди применений интеграла в данном учебнике выводится формула для нахождения работы переменной силы, формула вычисления массы стержня и центра масс. Все формулы выводятся одним способом: с помощью интегральных сумм. Для самостоятельного решения учащимся предлагается задача о нахождении кинетической энергии стержня и несколько задач на уже рассмотренные формулы. Причем задачи делятся на несколько уровней сложности, в том числе задачи повышенной трудности.

2) В учебнике Мордковича А. Г. «Алгебра и начала анализа» при введении понятия «Определенный интеграл» рассматриваются задачи, приводящие к данному понятию, а именно задача о вычислении площади криволинейной трапеции, задача о вычислении массы стержня и задача о перемещении точки. Все три задачи при их решении приводятся к одной и той же математической модели. При чем говорится о том, что многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Далее дается математическое описание этой модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x):

разбивают отрезок [a; b] на n равных частей;

составляют сумму

Sn=f(x0)Δx0+f(x1) Δx1+…+f(xk) Δxk+…+f(xn-1) Δxn-1;

3) вычисляют .

Автор учебника поясняет, что в курсе математического анализа доказано, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b].

После чего автор учебника возвращается к трем рассмотренным ранее задачам и результат, полученный при их решении, переписывает следующим образом:

, где S – площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x);

, где m – масса неоднородного стержня с плотностью p(х);

, где s – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v=v(t).

В учебнике в физических приложениях интеграла приводятся те же задачи, что и при введении понятия интеграла, а именно задачи о массе стержня и перемещении точки. Этим автор учебника и ограничивает изучение приложений интеграла в физике.

3) В учебнике М. И. Башмакова «Алгебра и начала анализа» тема «Интеграл и его применение» выделена в отдельную главу. Автор дает следующее определение интеграла: «Пусть дана положительная функция f, определенная на конечном отрезке [a; b]. Интегралом от функции f на отрезке [a; b] называется площадь её подграфика». Далее показывается, как вычислить эту площадь с помощью интегральных сумм и делается вывод, что интеграл равен пределу интегральных сумм. Иллюстрируется этот метод на задаче о нахождении объема лимона и нахождении работы по перемещению точки.

В данном учебнике рассмотрены наиболее разнообразные примеры приложений интеграла в физике. Задачи о работе силы, перемещении точки, о вычислении массы стержня, электрического заряда и нахождение давления воды на плотину приводятся в учебнике вместе с их теоретическим обоснованием (выводом). Без вывода представлены формулы нахождения работы по известной мощности и количества теплоты по известной теплоемкости. Однако, для самостоятельного решения учащимся предлагается мало задач.

Еще о педагогике:

Дидактическая игра и развитие мышления, внимания, воображения, грамматически правильной речи
Игра – это не только удовольствие и радость для ребенка, что само по себе очень важно. С ее помощью можно развивать внимание, память, мышление, воображение малыша, то есть те качества, которые необходимы для дальнейшей жизни. Играя, ребенок может приобретать новые знания, умения, навыки, развивать ...

Анатомо-физиологические особенности учащихся младших классов
Одно из основных условий высокой эффективности системы физической подготовки учащихся заключается в строгом учете возрастных и индивидуальных анатомо-физиологических особенностей, характерных для отдельных этапов развития детей и подростков. Основным критерием биологического возраста считается скел ...

Анализ психолого – педагогической литературы по проблеме развития изобразительных умений у детей раннего возраста в процессе рисования
Путь становления методики изобразительной деятельности в первые десятилетия советской власти был труден и проходим в острой борьбе с идеалистическими теориями. Большое распространение в этот период имела система Фридриха Фребеля, которая основывалась на идеалистическом понимании развития ребенка. Ф ...