Приложения интеграла в физике

Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике.

Нахождение силы.

№1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем и точкой.

Решение. Разобьем отрезок [c; c+l] на большое число отрезков. Если отрезки эти малы, то массу каждого из них можно считать точечной и силу гравитационного притяжения между таким отрезком и массой m вычислять по закону всемирного тяготения. Если длина отрезка равна Δх, а расстояние его от начала координат равно х, то сила гравитационного притяжения равна

Δх.

Суммируя полученные для каждого отрезка значения силы гравитационного притяжения, мы получим представление искомой силы в виде суммы тем более точное, чем мельче отрезки, на которые мы разбивали отрезок [c; c+l]. В пределе получим

.

№2. С какой силой полукольцо радиуса r и массы М действует на материальную точку массы m, находящуюся в его центре?

Нахождение кинетической энергии.

№3. Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса R, вращающегося с угловой скоростью ω около оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости.

Решение. Масса кругового кольца толщины dr, находящегося на расстоянии r от центра диска, равна 2πρrdr, где - поверхностная плотность. Линейная скорость υ=ωr кольца. Следовательно, его кинетическая энергия будет:

.

Поэтому кинетическая энергия диска равна

.

№4. Стержень АВ вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси ОО' с угловой скоростью ω=10π рад/с. По­перечное сечение стержня S = 4 см2, длина его l = 20 см, плотность материала, из которого он изготовлен, γ= 7,8 • 103 кг/м3. Найти кинетическую энергию стержня.

Решение. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси, равна , где ω – угловая скорость, а J – момент инерции относительно оси вращения.

Момент инерции стержня относительно оси равен Sγl2dl , отсюда кинетическую энергию стержня можно найти по формуле:

(Дж).

№5. Треугольная пластинка, основание которой а = 40 см, а высота h = 30 см, вращается вокруг своего основания с по­стоянной угловой скоростью ω=5π рад/с. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина ее d = 0,2 см, а плотность материала, из которого она изготовлена, γ= 2,2 • 103 кг/м3.

Нахождение давления.

№6. Найти давление воды на плотину, если вода доходит до её верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием а и нижним основанием b.

Решение. Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине х и имеющей высоту dx.

Легко доказать, что длина этого слоя равна

Поэтому его площадь dS равна

,

а давление dP на него равно

.

Еще о педагогике:

Проблема лидерства в психолого-педагогической литературе
Проблема лидерства привлекала к себе внимание на протяжении веков. Сегодня ученые – педагоги, психологи, социологи и философы, изучая стремление к лидерству как проявление «творческого инстинкта» человека, опираются на типологию авторитета, разработанную М. Вебером, который выдвигает в деле развити ...

Причины нарушений осанки
Отчего может нарушиться осанка? Таких причин много, назовем лишь некоторые: 1. Мебель несоответствующая возрасту, особенно когда ребенок долгое время проводит в вынужденной позе. Поэтому либо нужно всегда помнить о соответствии стульев и столов, как в детском саду, так и дома, либо не мешать ребенк ...

Основные характеристики и назначение опорного конспекта по психологии
Прежде чем рассмотреть основные характеристики и назначение опорных конспектов, мы рассмотрим его определения. В настоящий момент существует много определений опорного конспекта, но мы рассмотрим несколько из них: 1. Под опорным конспектом понимается особый вид графической наглядности, представляющ ...