Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

.

Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула

, (6)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (7)

В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.

40. Если на отрезке [a; b], то .

Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.

При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.

Еще о педагогике:

СМК на современном этапе развития общества. Понятие, функции
Средства массовой коммуникации (СМК) - технические средства (печать, радио, кинематограф, телевидение), c помощью которых осуществляется распространение информации (знаний, духовных ценностей, моральных и правовых норм и т. п.) на количественно большие рассредоточенные аудитории. Тысячу лет назад ч ...

Порядок выключения компьютера
После того, как работа за компьютером завершена, его нужно выключить. И делать это нужно аккуратно и правильно. Чтобы выключить компьютер, пользователю необходимо выполнить следующие действия: 1) завершить выполнение всех работающих прикладных программ. Если этого не сделать, то программы будут зав ...

Художественная деятельность как одно из средств адаптации детей к ДОУ
Как уже говорилось ранее, в период адаптации у ребенка возникает переделка ранее сформированных динамических стереотипов и, помимо иммунной и физиологической ломки, происходит преодоление психологических преград. Стресс может вызвать у малыша защитную реакцию в виде отказа от еды, сна, общения с ок ...