Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

.

Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула

, (6)

где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.

Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно

. (7)

В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.

.

Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.

Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.

40. Если на отрезке [a; b], то .

Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.

При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула

.

Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то

.

Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.

Еще о педагогике:

Изобразительная деятельность как средство эстетического воспитания
Изобразительная деятельность – важнейшее средство эстетического воспитания. Это подчеркивали многие художники, искусствоведы, педагоги, психологи, ученые. Это отмечали и древние греки, произведения искусства, которых до сих пор удивляют и радуют мир красотой и совершенством, много веков служат эсте ...

Динамика чтения
Возможно, вы уже знаете людей, которые могут прочитать за несколько минут газету и в течение какого-нибудь часа не только бегло просмотреть целую книгу, но и усвоить ее содержание. Вы, вероятно, подумали, что эти люди обладают такой врожденной способностью, а у вас ее нет. В действительности же быс ...

Каковы основные категории педагогики
В любой науке категории выполняют ведущую роль, они пронизывают все научное знание и как бы связывают его в целостную систему. Воспитание – социальное, целенаправленное создание условий (материальных, духовных, организационных) для усвоения новым поколением общественно-исторического опыта с целью п ...