.
Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула
, (6)
где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.
Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно
. (7)
В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.
.
Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.
Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.
40. Если на отрезке [a; b], то .
Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.
При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула
.
Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то
.
Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.
Еще о педагогике:
Типичные методические ошибки учителя при работе с текстовыми задачами
Ошибка 1. Пропуск этапа анализа условия задачи. «Прочитайте условие задачи. Кто пойдет к доске?» – такое часто можно видеть на уроке. И сразу начинается оформление решения. Этап анализа отсутствует и в некоторых учебниках, и в решебниках. Учителя не всегда сами понимают, зачем нужно проводить этот ...
Понятие фонетико-фонематического недоразвития речи
Язык является средством общения людей в силу своей материальной звуковой природы. Усвоение звуковой системы речи представляет собой ту основу, на которой строится овладение языком как основным средством общения. В усвоение звуковой стороны языка входят два взаимосвязанных процесса: процесс развития ...
Краткая биография
Коменский Ян Амос родился в 1592 году в Нивнице, в Чехии, в протестантской семье Общины чешских братьев. В 1608-1610 гг. учился в братской латинской школе, где преподавание было настолько неинтересным, что уже в последних ее классах Коменский начал задумываться о реформировании школьного обучения. ...