.
Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула
, (6)
где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.
Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно
. (7)
В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.
.
Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.
Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.
40. Если на отрезке [a; b], то
.
Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.
При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула
.
Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то
.
Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.
Еще о педагогике:
Возрастные и индивидуальные особенности детей дошкольного возраста
Четвертый год жизни – ответственный период в формировании игровой деятельности, принципиально новый этап в ее развитии. Изменяется психологическая характеристика игры: ее содержание создает базу для общения и совместных действий детей. Для них становятся интересными не только особенности и назначен ...
Анализ психолого-педагогической литературы по эстетическому воспитанию
Взрослые и дети постоянно сталкиваются с эстетическими явлениями. В среде духовной жизни, повседневного труда, общения с искусством и природой, в быту, и межличностном общении – везде прекрасное и безобразное, трагичное комическое играют существенную роль. Красота доставляет наслаждение и удовольст ...
Приложения интеграла в физике
Рассмотрим несколько нетривиальных примеров применения интеграла в физике. Нахождение силы. №1. На прямой расположены материальная точка массы m и однородный стержень массы M и длины l. Точка удалена от концов стержня на расстояния c и c+l. Определить силу гравитационного притяжения между стержнем ...