.
Ранее был приведен метод введения интеграла, основанный на рассмотрении задачи о давлении жидкости на прямоугольную стенку бассейна с основанием а, в результате решения которой получена формула
, (6)
где а – величина постоянная, равная ширине стенки бассейна.
Разделим прямоугольную стенку бассейна на а прямоугольников с основанием, равным единице. Тогда весь бассейн также разделится на а равных частей, при чем давление на прямоугольную стенку с основанием, равным единице в каждой части будет вычисляться по формуле . Учитывая, что во всех частях давление одно и то же и всего частей а, то общее давление равно
. (7)
В силу равенства левых частей в формулах (6) и (7), получаем равенство правых, т. е.
.
Данное равенство можно обобщить на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b], т. е.
Выведенные формулы в пунктах 3.1 и 3.2 называются свойствами линейности интеграла.
40. Если на отрезке [a; b], то
.
Докажем данное свойство с помощью задачи о массе стержня.
При введении понятия интеграла с помощью задачи о вычислении массы неоднородного стержня была получена формула
.
Как известно, плотность вещества – это физическая величина, показывающая, чему равна масса вещества в единице объема, следовательно, это величина неотрицательная. С другой стороны масса вещества есть также величина неотрицательная. Таким образом, получаем: если подынтегральная функция неотрицательна на рассматриваемом отрезке, то
.
Используемые в доказательствах свойств физические модели, во-первых, наглядны, во-вторых, при соответствующей методике введения понятия интеграла, данная методика введения свойств заставляет постоянно повторять пройденное, вспоминать выведенные при введении формулы. Все это удовлетворяет принципу прочности знаний и наглядности в обучении.
Еще о педагогике:
Результаты экспериментальной проверки модели процесса обучения учащихся V
классов изготовлению изделий на сверлильном станке
Вся экспериментальная работа условно расчленилась на два периода – констатирующий и формирующий эксперименты. Сущность констатирующего эксперимента заключается в выявлении доступности и уровней качества знаний и умений учащихся, связанных с определением нового содержания обучения и форм деятельност ...
Инновационные подходы к обучению астрономии
Что носится в воздухе и чего не требует время, то может возникнуть одновременно в ста головах без всякого заимствования. И. Гёте Методами, формами, средствами, технологиями, изложенными нами в предыдущем параграфе далеко не кончается широкий спектр возможностей преподавания астрономии. Третье тысяч ...
Гуманизация образования: основные направления
Ускорение развития является существенной и специфичной чертой всего общественного процесса. Система образования в этом смысле не исключение. Инновационные процессы, объединяющие создание, освоение и применение педагогических новшеств, в силу такого единства способны значительно ускорить процессы об ...