Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

Статьи о педагогике » Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в 10-11 классах » Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

Страница 1

При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Доказательство свойств при разных подходах к введению понятия интеграла может быть разным.

Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических моделях.

10. .

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки.

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t1, t2, …,tn-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что

, (1)

так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых.

20. .

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки.

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

. (2)

При помощи соотношения (1) можно распространить формулу (2) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (1)

. (3)

Таким образом, получили равенство (3), в точности совпадающее с (2).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов). Учащиеся легко могут самостоятельно убедиться, что формула (2) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.

Выведенное свойство называется свойством аддитивности интеграла.

30. , .

Рассмотрим доказательство этих свойств на примерах задачи о работе переменной силы и задачи о давлении жидкости на стенку.

Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

. (4)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F1(x)+F2(x). Работа этой силы равна

. (5)

В силу равенства левых частей в формулах (4) и (5), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Если же к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F(x) при F1(x)>F2(x) находится по формуле F(x)= F1(x)-F2(x). Тогда верно следующее равенство

Страницы: 1 2

Еще о педагогике:

Животные и растения - постоянные обитатели уголка природы
При отборе растений и животных для уголка природы следует учитывать требования, предъявляемые «Программой воспитания в детском саду». Только при этом условии можно обеспечить воспитательное и образовательное воздействие на детей труда и наблюдений. Многие педагоги сходятся во мнении, что пополнять ...

Анализ представлений учителя об образе учеников
Для обработки результатов применялись дисперсионный, факторный, корреляционный и кластерный анализы. В результате корреляционного анализа по элементам наибольшая связь между ролью непринимаемого и ролью частично принимаемого (r=0,644). Можно сказать, что для учителя, частично принимаемые ученики по ...

Содержание основных понятий теории проблемного обучения: "проблемное обучение", "проблемная ситуация", "проблема", "учебная проблема"
Проблемное обучение не является абсолютно новой дидактической системой. Опытными педагогами всегда использовались элементы творческого поиска обучающихся при овладении разными отраслями знаний. Разработка идей проблемного обучения в конце прошлого века стала реакция на "пассивные" методы ...

Главные разделы

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.rumschool.ru