Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей

При изучении интеграла существенным является отбор свойств, которые необходимо знать ученикам. Их должно быть достаточно для рассмотрения приложений интеграла и в то же время не должны вводиться свойства, без которых можно обойтись в дальнейшем. Доказательство свойств при разных подходах к введению понятия интеграла может быть разным.

Ниже приведенные свойства интеграла рассматриваются на различных физических моделях.

10. .

Рассмотрим доказательство данного свойства на задаче о перемещении точки.

При введении интеграла рассматривается случай, когда нижний предел интегрирования меньше верхнего. Но определенный интеграл можно обобщить и на случай, когда верхний предел меньше нижнего. В этом случае обратимся к определению интеграла как суммы. Разбивая отрезок от [a; b] промежуточными значениями t1, t2, …,tn-1, убедимся, что все Δt теперь отрицательны. Легко убедиться, что

, (1)

так как при любом разбиении отрезка [a; b] соответствующие суммы будут отличаться знаками всех Δt во всех слагаемых.

20. .

Докажем свойство на примере задачи о перемещении точки.

Существенное свойство интеграла состоит в том, что область интегрирования можно разбить на части: путь, пройденный за время от а (начала) до b (конца), можно представить

как сумму пути, пройденного за время от a до c (промежуточного момента) и от c до b

. (2)

При помощи соотношения (1) можно распространить формулу (2) и на случай, когда с не лежит внутри промежутка [a; b].

Пусть c>b>a. Тогда очевидно

.

Перенесем последнее слагаемое в левую часть и воспользуемся (1)

. (3)

Таким образом, получили равенство (3), в точности совпадающее с (2).

Аналогично можно рассмотреть случаи другого расположения чисел a, c, b (их всего шесть вариантов). Учащиеся легко могут самостоятельно убедиться, что формула (2) оказывается верной во всех этих случаях, т. е. независимо от взаимного расположения чисел a, c, b.

Выведенное свойство называется свойством аддитивности интеграла.

30. , .

Рассмотрим доказательство этих свойств на примерах задачи о работе переменной силы и задачи о давлении жидкости на стенку.

Пусть к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону. Под действием этих сил материальная точка переместилась из точки а в точку b, при этом работа каждой силы на этом отрезке вычисляется по формулам: и . Тогда общая работа, совершенная обеими силами равна

. (4)

С другой стороны, если к телу приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой в одну сторону, то их равнодействующая F(x) находится по формуле F(x)= F1(x)+F2(x). Работа этой силы равна

. (5)

В силу равенства левых частей в формулах (4) и (5), получаем равенство правых, т. е.

.

Нетрудно показать, что данное свойство выполняется для любого конечного числа сил, действующих на точку и направленных по одной прямой в одну сторону. Это свойство показывает, что интеграл суммы нескольких слагаемых разбивается на сумму интегралов отдельных слагаемых.

Если же к материальной точке, движущейся по оси х, приложены две силы F1(x) и F2(x), направленные по одной прямой, но в противоположную сторону, то их равнодействующая F(x) при F1(x)>F2(x) находится по формуле F(x)= F1(x)-F2(x). Тогда верно следующее равенство

Еще о педагогике:

Принцип доступности
Принцип доступности обучения - это соответствие учебного материала возрасту, индивидуальным особенностям, уровню подготовленности учащегося. Принцип доступности обучения вытекает из выработанных многовековой практикой обучения требований, с одной стороны, учета закономерностей возрастного развития ...

Виды воспитательного процесса
В целостном педагогическом процессе важное место занимает процесс воспитания. Воспитание - процесс целенаправленного формирования личности. Это специально организованное, управляемое и контролируемое взаимодействие воспитателей и воспитанников, конечной своей целью имеющее формирование личности, ну ...

Концептуальные подходы к организации воспитательной работы в шестой школьный день
Сегодня одной из актуальных задач, стоящих перед педагогическими коллективами учреждений системы образования, является организация воспитательной работы в шестой школьный день. В соответствии с Декретом Президента Республики Беларусь от 17 июля 2008 г. № 15 «Об отдельных вопросах общего среднего об ...