Использование свойств интеграла.
№1. Вычислите силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м.
Решение. Сила давления воды зависит от глубины х погружения площадки: P(x)=ax, где а – площадь площадки. Получаем
(т).
№2. Тело массой 1 движется с ускорением, меняющимся линейно по закону a(t)=2t-1. Какой путь пройдёт тело за 4 единицы времени от начала движения t=0, если в начальный момент его скорость равнялась 2?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t вычисляется по формуле
v=v0+at.
Используя данные задачи, получаем:
.
№3. Тело брошено с поверхности Земли вертикально вверх с начальной скоростью v0. Какова наибольшая высота, достигаемая телом?
Решение. Скорость тела в любой момент времени t движения равна разности начальной скорости и скорости gt, вызванной ускорением, определяемым силой тяжести: v=v0-gt. Движение вверх будет происходить при v=v0-gt>0, т. е. при . Таким образом, максимальная высота полета равна
.
Введение новой переменной.
№1. Задан закон изменения скорости движения материальной точки по прямой: (время t в секундах, скорость v в метрах в секунду). Какой путь пройдёт точка за 13 с от начала движения (t=0)?
Решение. В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках. Назовем её z,
z=2t+1.
При этом надо также от дифференциала dt перейти к дифференциалу dz. Получим
dz=2dt, dt=dz/2.
Вычислим сначала неопределенный интеграл,
Таким образом,
м/c.
№2. Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [0,01; 1], если ток изменяется по формуле .
Решение. За элементарный промежуток времени протекает количество электричества
dq=I(t)dt.
В качестве новой переменной введем величину, стоящую в скобках.
.
Тогда dt=du.
Значит, общее количество электричества равно
.
№3. Точка движется по прямой. В начальный момент t=1 с её скорость равна 1 м/с, а затем уменьшается по закону . Найдите длину пути, пройденного точкой за 4 с от начального момента времени.
Интегрирование путем подстановки (внесением под знак дифференциала).
№1. Найти величину давления на полукруг, вертикально погруженный в жидкость, если его радиус равен R, а верхний диаметр лежит на свободной поверхности жидкости (рис.1); удельный вес жидкости равен γ. [6]
Еще о педагогике:
Организационная деятельность заведующего дошкольным образовательным
учреждением
К управлению детским садом заведующая привлекает всех педагогов, родителей. Содержанием организаторской деятельности при этом является: 1. Определение роли каждого члена коллектива в решении поставленных задач; 2. Распределение работы между сотрудниками; 3. Определение персональной ответственности; ...
Профессионализм и профессиональная компетентность
Под профессионализмом нами понимается особое свойство людей систематически, эффективно и надежно выполнять сложную деятельность в самых разнообразных условиях. В понятии «профессионализм» отражается такая степень овладения человеком психологической структурой профессиональной деятельности, которая ...
Психологический анализ особенностей адаптации первоклассников к школе
Опросник для учителя 1. Родители совершенно устранились от воспитания, почти не бывают в школе. 2. При поступлении в школу ребенок не владел элементарными учебными навыками (не умел считать, не знал буквы). 3. Не знает многое из того, что известно большинству детей его возраста (например, дни недел ...